Бөлгөнлөккә төшөү хәүефе
Маҡсатҡа еткәнсе бөтә уйын аҡсаһын юғалтыу ихтималлығы.
Тигеҙ түләүле ставкалар өсөн бөлгөнлөккә төшөү хәүефе уйынсының бөлгөнлөккә төшөүе формулаһына буйһона. $500 уйын аҡсаһы, $10-лыҡ ставкалар һәм $600 маҡсат булғанда һеҙ осраҡтарҙың яҡынса 57%-ында маҡсатҡа етәһегеҙ, ҡалғандарында бөтә аҡсаны юғалтаһығыҙ.
Һорау
Һеҙҙең a берәмекаҡсаБерәмекСистема йәки уйынсы эшләгән нигеҙ ставка. Прогрессиялар теләһә ниндәй өҫтәлдә ҡулланылһын өсөн берәмектәрҙә һүрәтләнә.Тулыһынса уҡыу → уйын аҡсаһыаҡсаУйын аҡсаһыУйын өсөн айырып ҡуйылған дөйөм сумма. Уйын аҡсаһы менән идара итеү — уның күпме өлөшөн бер ставкала һәм бер сессияла хәүеф аҫтына ҡуйырға ҡарар итеү.Тулыһынса уҡыу → бар һәм һеҙ, отоу ихтималлығыматематикаИхтималлыҡҺөҙөмтәнең мөмкинлеге, 0-ҙән 1-гә тиклем йәки 0%-тан 100%-ҡа тиклем. Бер һан: 1/37 = 2,70%.Тулыһынса уҡыу → p = 18/37, юғалтыу ихтималлығы q = 19/37 булған тигеҙ түләүле ставкағаставкаТигеҙ түләүле ставкаҠыҙыл/ҡара, таҡ/йоп, ҙур/бәләкәй. 18 һан, 1:1 түләй.Тулыһынса уҡыу → бер берәмектән ҡуйып, a + b берәмеккә етергә теләйһегеҙ. Нулгә еткәнсе маҡсатҡа етеү мөмкинлеге ниндәй? Яуапты 1650-се йылдарҙа Паскаль, Ферма һәм Гюйгенс иҫәпләп сығарған, һәм ул ихтималлыҡтар теорияһының иң боронғо һөҙөмтәләренең береһе.
Уйынсының бөлгөнлөккә төшөүе формулаһы
P(маҡсатҡа етеү) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Бөлгөнлөккә төшөү хәүефематематикаБөлгөнлөккә төшөү хәүефеМаҡсатҡа йәки әйләнештәр һанына еткәнсе бөтә уйын аҡсаһын юғалтыу ихтималлығы.Тулыһынса уҡыу → — бергә ҡарата уның ҡалғаны. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 булғанда нисбәт берәмектәр һанына ҡарап экспоненциаль үҫә, шуға күрә формула бәләкәй берәмектәрҙе ҡаты язалай: маҡсатҡа етеү өсөн күпме күберәк ставка кәрәк, юлда 2,70% түләүе шул тиклем күберәк тапҡыр түләнә.
Нисек уҡырға
Бәләкәй берәмектәр зыян килтерә. $10-лыҡ ставкалар менән $500-ҙе икеләтергә тырышыу осраҡтарҙың 6%-ында уңышлы була; бер $500-лөк ставка менән — 48,6%-ында. Ҡыйыу уйын, йәғни әҙерәк һәм ҙурыраҡ ставкалар, көтөлгән ҡиммәте кире булған уйында маҡсатҡа етеү мөмкинлеген максимумға еткерә, сөнки өҫтөнлөктөң ҡулланылыу һанын минимумға төшөрә. Ул шулай уҡ һеҙҙең менән булғандың дисперсияһынматематикаДисперсияҺөҙөмтәләрҙең көтөлгән ҡиммәт тирәһендә күпме киң таралыуын күрһәткән үлсәм. Бер һанға ставка өсөн юғары, тигеҙ түләүле ставкалар өсөн түбән.Тулыһынса уҡыу → максимумға еткерә һәм кисте тиҙ тамамлай. Был теорема «ҡыйыу уйын оптималь» тип атала, уны 1965 йылда Дубинс һәм Сэвидж иҫбатлаған.
Мәсьәлә ҡайҙан башланған
Был һорау рулеткаға ҡарағанда боронғораҡ. 1656 йылда Паскаль Фермаға табышмаҡ биргән: ике уйынсы өс уйын һөйәге ташлай, һәр береһендә баштан 12 фишка; 11 сыҡһа, бер фишка бер яҡҡа күсә, 14 сыҡһа — икенсе яҡҡа. Икеһе лә уны сискән, ә был хаҡта математик Пьер де Каркавиҙың хатынан белгән Гюйгенс уны 1657 йылда ихтималлыҡтар тураһындағы беренсе китаптың бишенсе мәсьәләһе итеп, яуабы менән, әммә иҫбатлауһыҙ баҫтырған. Ун берҙе 27 төрлө, ә ун дүртте 15 төрлө генә ташлап була, шуға күрә һәр фишка 14 осраҡтың 9-ында беренсе уйынсы яғына күсә, һәм юғарыҙағы формула, һәр береһендә 12 фишка булғанда, уның бөтәһен отоуы бөтәһен юғалтыуына ҡарағанда яҡынса 1 157 тапҡырға ихтималыраҡ икәнен күрһәтә. 2,70% өҫтөнлөк күпкә бәләкәйерәк, әммә шул уҡ формула уның күп ставкала нимә эшләгәнен күрһәтә.
Ысын ҡыйыу ставка
2004 йылдың апрелендә йәш инглиз Эшли Ревелл үҙенең бөтә мөлкәтен тиерлек, кейемдәрен дә ҡушып, һатҡан һәм $135 300-ҙө Лас-Вегастағы Plaza-ға алып килгән. Бер нисә бәләкәй ставканан һуң ул бөтә сумманы бер тапҡыр ҡыҙылғаставкаҠыҙыл18 ҡыҙыл һанға тигеҙ түләүле ставка. Французса: rouge.Тулыһынса уҡыу → ҡуйған. ШарйыһазШарРоторға ҡаршы юл буйлап ебәрелгән бәләкәй шар. Хәҙерге шарҙар ivorine йәки тефлондан, 18–21 мм.Тулыһынса уҡыу → ҡыҙыл 7-гә төшкән, һәм ул $270 600 менән сығып киткән. Ике нуллетәгәрмәсНульБер ниндәй тигеҙ түләүле, дюжинаға йәки бағанаға ставка ла ҡапламаған берҙән-бер йәшел күҙәнәк; казино өҫтөнлөгөнөң сығанағы. Шулай уҡ: бер нуль, 0.Тулыһынса уҡыу → тәгәрмәстә был бер әйләнеш 47,37% мөмкинлек булған һәм уға уртаса $7 121 торған, был — бер ставкалағы 5,26% өҫтөнлөк. $10-лыҡ ставкаларға бүленһә, шул уҡ маҡсат өмөтһөҙгә яҡын булыр ине. Ҡыйыу уйын ставканы яҡшы итмәй; ул уны мөмкин тиклем ҡыҫҡа итә.
Маҡсатһыҙ бөлгөнлөккә төшөү хәүефе
Әгәр һеҙ бөтә аҡсаны юғалтҡансы уйнаһағыҙ йәки N әйләнештән һуң туҡтаһағыҙ, һорау былай була: «N әйләнеш эсендә уйын аҡсамдың нулгә ҡағылыу мөмкинлеге ниндәй?». Дөйөм N өсөн ябыҡ формула юҡ, әммә был сайттағы симуляторҙар уны иҫәпләй: ҡыҙылға $10-лап ҡуйылған $500 уйын аҡсаһы 100 әйләнештә бөтөнләй тиерлек юғалмай (1%-тан кәм), 500 әйләнештә осраҡтарҙың яҡынса 9%-ында, ә 5 000 әйләнештә яҡынса 95%-ында юғала. Туҡтау ҡағиҙәһе булмаһа, ихтималлыҡ 100%-ҡа ынтыла, һәм был — казино өҫтөнлөгөнөңматематикаКазино өҫтөнлөгөКазино һәр ставканан уртаса ҡалдырған өлөш: Европа рулеткаһында 2,70%.Тулыһынса уҡыу → оҙон араға варианты.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Күпме оҙаҡ һәм күпме алға
Тағы ике классик һөҙөмтә уйынсылар ысынлап бирә торған һорауҙарға яуап бирә. Маҡсат булмағанда, даими тигеҙ түләүле ставкалар Европа тәгәрмәсендә уйын аҡсаһының һәр берәмегенә уртаса 37 әйләнеш, Америка тәгәрмәсендә 19 әйләнеш тота, сөнки һәр әйләнеш уртаса берәмектең 1/37 өлөшөн ала (Америка тәгәрмәсендә 1/19): 100 берәмек уртаса 3 700 әйләнеш тота, әммә шундай сеанстарҙың яртыһы 3 134 әйләнеш эсендә тамамлана («Сеанстың оҙонлоғо һәм хаҡы» битен ҡарағыҙ). Ә уйын аҡсаһы күпме генә ҙур булмаһын, Европа тәгәрмәсендә ҡасан да булһа k берәмек плюста булыу мөмкинлеге (18/19)ᵏ. Был бер берәмек өсөн 95% һәм ун берәмек өсөн 58%, әммә бер ниндәй ҙә уйын аҡсаһы, күпме генә ҙур булмаһын, ҡасан да булһа 13 берәмек плюста булыуға тигеҙ мөмкинлек бирмәй; Америка тәгәрмәсендә мөмкинлек (9/10)ᵏ һәм 7 берәмектә яртынан түбән төшә.
Сессияның оҙонлоғо һәм хаҡыАмерика рулеткаһы: тәгәрмәс һәм ҡағиҙәләр
Илле-илле мөмкинлек өсөн уйын аҡсаһы
Һорауҙы әйләндерәйек: бөтәһен юғалтҡансы билдәле сумманы отоуға кәмендә илле-илле мөмкинлек булһын өсөн күпме алып килергә кәрәк? Бәләкәй отош өсөн — күп түгел. Ҙурыраҡ отош өсөн кәрәкле уйын аҡсаһы ҡырҡа арта, ә билдәле бер сиктән һуң бер ниндәй ҙә уйын аҡсаһы етмәй, сөнки хатта сикһеҙ уйын аҡсаһы ла ҡасан да булһа шул тиклем плюсҡа сығыуға илле-илленән кәмерәк мөмкинлек бирә. Тейлор (2021) быны башҡаса әйтә: Америка тәгәрмәсендә 100 берәмеккә етеүгә илле-илле мөмкинлек булһын өсөн 94 берәмектән башларға, йәғни 6 отош өсөн 94-те хәүеф аҫтына ҡуйырға кәрәк. Европа тәгәрмәсендә 88 кәрәк булыр ине.
Ғәмәли һабаҡ
Нимәгә ынтылғанығыҙҙы хәл итегеҙ. Маҡсат — билдәле отош икән, ҙур һәм аҙ ҡуйығыҙ. Маҡсат — оҙон кис икән, бәләкәй ҡуйығыҙ һәм өҫтөнлөктөң ҙур ставкалар әйләнешенәнаҡсаСтавкалар әйләнешеСессия йәки осор дауамында ҡуйылған дөйөм сумма, яңынан ҡуйылған отоштарҙы иҫәпкә алып. Шулай уҡ: handle, action.Тулыһынса уҡыу → үҙенең 2,70%-ын аласағын ҡабул итегеҙ. Маҡсат — икеһе лә икән, ниҙәндер баш тартырға тура килә, һәм ғәҙәттә был — маҡсат.
Формула
Һорауҙар
МартингейлстратегияМартингейлҺәр юғалтыуҙан һуң ставканы ике тапҡыр арттырған прогрессия. Уның нимә эшләгәнен һәм нимә эшләмәгәнен «Стратегия» бүлегендә ҡарағыҙ.Тулыһынса уҡыу → уны ҡыҫҡа сеанстар өсөн кәметә һәм оҙон сеанстар өсөн ҡырҡа арттыра. Ҙурыраҡ берәмек менән даими ставкастратегияДаими ставкаҺәр әйләнештә бер үк сумма ҡуйыу. Һәр прогрессия сағыштырылған нигеҙ.Тулыһынса уҡыу → — уны кәметеүҙең намыҫлы юлы.
Юғарыҙағы формула тигеҙ түләүле ставкалар өсөн. Юғары дисперсиялы ставкаларҙа бәләкәй ставка суммаларында бөлгөнлөккә төшөү ихтималыраҡ, ә маҡсатҡа тигеҙһеҙерәк юл менән етелә; калькуляторҙы ҡулланығыҙ.
Маҡсатҡа табан һәр аҙым бөлгөнлөккә табан һәр аҙымға ҡарағанда бер аҙ кәмерәк ихтимал; нисбәт аҙымдар һаны буйынса ҡабатланып йыйыла.
Күңелле математика
Башта үҙегеҙ сисеп ҡарағыҙ. Һәр сисеү йәшерелгән; әҙер булғас асығыҙ.
Һеҙҙә $100 бар, һеҙгә $1 000 кәрәк, һәм һеҙ ҡыҙылғаставкаҠыҙыл18 ҡыҙыл һанға тигеҙ түләүле ставка. Французса: rouge.Тулыһынса уҡыу → ғына ставка ҡуяһығыҙ. Беренсе план: бер юлы $1 ҡуйыу. Икенсе план: $500-ҙән уҙғансы бөтә булған аҡсаны ҡуйыу, ә унан һуң $1 000-гә етерлек кенә ҡуйыу. Ҡайһы план яҡшыраҡ һәм ни тиклем?
Сисеүҙе күрһәтеү
Яуап Икенсеһе, күпкә. Ул осраҡтарҙың яҡынса 9,0%-ында $1 000-гә етә, ғәҙел 10%-ҡа яҡын. Беренсе план 10²² осраҡта яҡынса 7 тапҡыр ғына уңышлы була.
Ғәҙел уйындаматематикаҒәҙел уйынБер яҡтың да өҫтөнлөгө булмаған уйын: һәр ставканың көтөлгән ҡиммәте нулгә тигеҙ.Тулыһынса уҡыу → ни генә эшләһәгеҙ ҙә, $100-ҙән $1 000-гә ун тапҡырҙың береһендә етер инегеҙ, сөнки аҡсағыҙҙың уртаса ҡиммәте $100 булып ҡала.
Өҫтөнлөк һәр ставканың 2,70%-ын ала, шуға дөйөм алғанда никтиклем әҙерәк ҡуйһағыҙ, ундан бер мөмкинлеккә шул тиклем яҡыныраҡ ҡалаһығыҙ. Икенсе план мәсьәләне бер нисә ставкала хәл итә: $100 $200-гә, $400-гә, $800-гә әйләнә, ә унан һуң $200 етә. Ул осраҡтарҙың яҡынса 9,0%-ында уңышлы була. Беренсе план юл тамамланғансы меңәрләгән ставка ала, һәм өҫтөнлөк, һәр ставкала бәләкәй булһа ла, йыйылып, тиерлек һис шикһеҙ бөлгөнлөккә килтерә.
Был — Дубинс–Сэвидж һөҙөмтәһенең иң ябай формаһы (Эпштейн, 2013): казино өҫтөнлөклө уйында кәрәк тиклем ҙур ставка ҡуйығыҙ, мөмкин тиклем әҙерәк тапҡыр.
Һеҙҙә $500 бар, һеҙгә $1 000 кәрәк, һәм уға етеү менән туҡтайһығыҙ. Һеҙ ставканың бер төрөн һайлайһығыҙ һәм ул бер тапҡыр отҡансы йәки аҡса бөткәнсе уны ҡабатлайһығыҙ. Ҡайһы төр иң яҡшы мөмкинлек бирә?
Сисеүҙе күрһәтеү
Яуап Ҡыҙылға бер $500-лөк ставка: 48,6%. Аҡсаны бәләкәйерәк ставкаларға таратҡан һәр план насарыраҡ.
Һәр ставка суммаһын бер отош етерлек итеп һайлағыҙ: бер һанға ставкаластавкаБер һанға ставкаБер генә һан, 35:1 түләй.Тулыһынса уҡыу → $30 $1 050 ота, ике һанға ставкаластавкаИке һанға ставкаЯҡын торған ике һан, 17:1 түләй.Тулыһынса уҡыу → $60 $1 020 ота, һәм башҡалар. Һуңынан аҡса бөткәнсе кәмендә бер ставканың отоу мөмкинлеген иҫәпләгеҙ. Бер һанға $30-лыҡ ун алты ставканың барыһы ла (36/37)¹⁶ = 64,5% мөмкинлек менән тура килмәй, шуға улар осраҡтарҙың 35,5%-ында $1 000-гә етә.
Таблицала һәр ставка күрһәтелгән. Ҡыҙыл иң яҡшы, сөнки маҡсатҡа бер ставкала етә, шуға өҫтөнлөк бер тапҡыр, $500-ҙән түләнә. Алты һанға ставкаставкаАлты һанға ставкаЯҡын торған ике рәттәге алты һан, 5:1 түләй. Французса: sixain.Тулыһынса уҡыу → икенсе урында, сөнки уға өс ставка ғына кәрәк. Бер дюжинағаставкаДюжинаға ставка1–12, 13–24 йәки 25–36, 2:1 түләй.Тулыһынса уҡыу → ставка иң насары, 12/37 мөмкинлек; хатта $1 000 йәки унан күберәк булғансы $250-лыҡ берәмектәраҡсаБерәмекСистема йәки уйынсы эшләгән нигеҙ ставка. Прогрессиялар теләһә ниндәй өҫтәлдә ҡулланылһын өсөн берәмектәрҙә һүрәтләнә.Тулыһынса уҡыу → менән уйнағанда ла, дюжина осраҡтарҙың 46,4%-ында ғына маҡсатҡа етә.
Боллман (2024) шул уҡ таблицаны Америка тәгәрмәсе өсөн төҙөй. Уның дюжина юлында хата бар: унда 12/38 = 31,6% булырға тейеш.
ставкаставка суммаһы × ставкалар һаны$1 000-гә етеү мөмкинлегеБер һанға ставка$30 × 1635,5%Ике һанға ставка$60 × 835,9%Рәткә ставка$90 × 534,5%Мөйөшкә ставка$125 × 436,7%Алты һанға ставка$166, $166, $16841,2%Дюжинаға ставка$500 × 132,4%Ҡыҙыл$500 × 148,6%Һеҙ ҡыҙылға әйләнеш артынан әйләнеш бер берәмек ҡуяһығыҙ, уйын аҡсағыҙаҡсаУйын аҡсаһыУйын өсөн айырып ҡуйылған дөйөм сумма. Уйын аҡсаһы менән идара итеү — уның күпме өлөшөн бер ставкала һәм бер сессияла хәүеф аҫтына ҡуйырға ҡарар итеү.Тулыһынса уҡыу → бер ҡасан да бөтмәй. Беренсе әйләнештән һуң һеҙ бер берәмеккә отошта йәки бер берәмеккә юғалтыуҙа. Ҡасан да булһа яңынан нәҡ тигеҙлеккә ҡайтыу мөмкинлеге ниндәй?
Сисеүҙе күрһәтеү
Яуап 37-нән 36, 97,3%. Америка тәгәрмәсендә — 38-ҙән 36, 94,7%.
Әгәр беренсе әйләнеш отһа (37-нән 18 тапҡыр), һеҙ бер берәмеккә алдаһығыҙ, ә өҫтөнлөк һәр осһоҙ сессияны түбән тарта, шуға иртәме-һуңмы тигеҙлек аша кире үтәһегеҙ: был — һис шикһеҙ. Әгәр юғалтһа (37-нән 19 тапҡыр), һеҙгә бер берәмеккә күтәрелергә кәрәк, ә ҡасан да булһа бер берәмеккә алға сығыу мөмкинлеге — 18/19 (юғарыраҡтағы таблицаны ҡарағыҙ).
Бергә: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Дөйөм алғанда был мөмкинлек 1 минус әйләнеште отоу һәм юғалтыу мөмкинлектәре араһындағы айырмаға тигеҙ: Европа тәгәрмәсендә 1 − 1/37, Америка тәгәрмәсендә 1 − 2/38. НулһеҙтәгәрмәсНульБер ниндәй тигеҙ түләүле, дюжинаға йәки бағанаға ставка ла ҡапламаған берҙән-бер йәшел күҙәнәк; казино өҫтөнлөгөнөң сығанағы. Шулай уҡ: бер нуль, 0.Тулыһынса уҡыу → уйында айырма юҡ, һәм мөмкинлек 1-гә тигеҙ: иҫәп һәр ваҡыт тигеҙлеккә ҡайта. Эпштейн (2013) дөйөм ҡағиҙәне килтерә.
Паскалдең 1656 йылғы мәсьәләһе: ике уйынсы өс кубик ташлай, һәр береһе 12 фишка менән башлай. Һәр 11 беренсе уйынсыға бер фишка күсерә, һәр 14 — икенсеһенә; башҡа ташлауҙар иҫәпкә алынмай. Беренсе уйынсының бөтә 24 фишканы отоу ихтималлығы ниндәй? Ә әгәр һеҙ банк ролен үтәгән дуҫығыҙға ҡаршы, һәр яҡта 12 берәмек, һәр әйләнештә ҡыҙылға 1 берәмек ҡуйһағыҙ, бөтә 24 берәмекте отоу ихтималлығығыҙ ниндәй?
Сисеүҙе күрһәтеү
Яуап Беренсе уйынсы яҡынса 1 158 тапҡырҙың 1 157-һендә ота. Һеҙ, ҡыҙылға ҡуйып, бөтә 24 берәмекте осраҡтарҙың яҡынса 34%-ында ғына отаһығыҙ.
Өс кубик 11-ҙе 27 ысул менән, 14-тө 15 ысул менән бирә, шуға күскән һәр фишка беренсе уйынсыға 42 тапҡырҙың 27-һендә, йәғни 14 тапҡырҙың 9-ында китә. Һәр яҡ 12 фишканан башлағанда, бөтәһен алыу мөмкинлеге 1/(1 + r¹²), бында r — икенсе яҡтың мөмкинлегенең һеҙҙекенә нисбәте.
Беренсе уйынсы өсөн r = 5/9, ә (5/9)¹² ≈ 0,00086, шуға мөмкинлек яҡынса 0,99914: 9¹²-гә ҡаршы 5¹², йәғни 282 429 536 481-гә ҡаршы 244 140 625, яҡынса 1 157-гә ҡаршы 1. Гюйгенс 1657 йылда нәҡ ошо һандарҙы баҫтырған.
Ҡыҙылда нуль арҡаһында r = 19/18, ә (19/18)¹² ≈ 1,913: һеҙҙең мөмкинлек 1/2,913 ≈ 34,3%. Тәңкә 50% бирер ине. Һәр ставкалағы 2,70% өҫтөнлөк, кәрәкле күп ставкалар дауамында йыйылып, 16 пунктлыҡ айырма бирә.
Көлкө өсөн тәнәфес
Ҡыйыу уйын оптималь. Ул шулай уҡ тиҙ тамамлана.
Сығанаҡтар
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Гюйгенсҡа хат, 1656 йылдың 28 сентябре, Паскаль Фермаға ҡуйған мәсьәлә тураһында.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”